INDUKSI MATEMATIKA

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi Matematika adalah tahapan pembuktian suatu rumus atau teori umum dari hipotesa tertentu.
Dalam pembuktian suatu rumus yang menyangkut bilangan asli n terdapat dua langkah yang perlu diperhatikan.
1. Tunjukan dengan substitusi sebenarnya bahwa dengan rumus tersebut dinyatakan benar untuk suatu nilai misalkan n= 1.
Berlaku untuk n=1
2. Andaikan bahwa rumus benar untuk n=k selanjutnya buktikan rumus adalah benar untuk n=k+1
TANDA ^ ITU ARTINYA PANGKAT YA! :D

CONTOH SOAL:
1. Buktikan Sn=1 +3+5+…+(2n-1)=n^2; n adalah bilangan asli
BUKTI:
(B) S(1) =1= 12…. Benar
(I) untuk n=k
S(K) benar maka s(k)=1+3+5+…(2k-1)=k^2
Untuk n= k+1 :
1 +3 +5+…+(2k-1)+2(k+1)-1 = (k+1)^2
INGAT: Pada S(k) tadi 1 +3+ 5 …(2k-1) =k^2
Kita ganti tadi 1 +3+ 5 …(2k-1) menjadi k^2
Jadi didapat:
K^2+ 2(k+1)-1 = (k+1)^2
K^2 + 2k +2 -1 = (k+1)^2
(k+1)2 = (k+1)2
Dari (B) dan (I) terbukti bahwa Sn =1+3+5…2n-1 =n^2 benar untuk setiap bilangan asli.

2. Buktikan X^n –y^n habis dibagi (x-y)
BUKTI:
(B) s(1) = x^1-y^1= x-y…BENAR
(I) untuk n=k
S(k) benar maka S(k) = x^k-y^k habis dibagi (x-y) sehingga
S(k) = (x-y)p = x^k-y^k
INGAT! P adalah hasil bagi dari x^k-y^k /x-y
Untuk n=k+1 maka :
S(k+1) = X ^k+1 –Y ^k+1
= X X^k-Y^k. Y
= X X^k - X.Y^k + XY^k -YY^k
=X(X^k-Y^k) +(X-Y) Y^k
= X (X-Y)p + (X-Y) Y^k
= (X-Y) Xp + (X-Y) Y^k
Dari B dan I terbukti bahwa X^n –Y^n habis dibagi (x-y) untuk setiap bilangan asli n


3. Buktikan Bahwa : 76^2001, punya puluhan 7 satuan 6
BUKTI:
(B) untuk n=1 jadi 76^1= 76 punya puluhan 7 satuan 6
(I) Andaikan untuk n=k = punya puluhan 7 satuan 6
762 = 5776
=5700 + 76
=10.570 +76
Berarti 76 k= 10 a + 76
Untuk n= k+1 :
76 ^k+1 = 76^k.76
= (10 a +76) 76
=760 a + 5776
=760 a + 5700 + 76
=10b +76 (b =bilangan bulat non negative)
Jadi, 76^k+1 punya puluhan 7 dan satuan 6
Dari B dan I 76n punya puluhan 7 dan satuan 6 untuk setiap bilangan asli n.
Karena 2001 adalah bilangan asli maka terbukti 76 2001 punya puluhan 7 dan satuan 6

QUOTE MANIS BUAT KAMU
TIDAK BISA SEKARANG BUKAN BERARTI TIDAK BISA SELAMANYA, SELAMA KAMU TERUS BELAJAR DAN BERLATIH TIDAK AKAN ADA YANG NAMANYA TIDAK BISA